Source: The Conversation – in French – By Jason Bramburger, Associate Professor of Mathematics and Statistics, Concordia University
La semaine dernière, OpenAI a proposé une solution à l’équation de Navier-Stokes, l’un des sept fameux problèmes du prix du millénaire choisis par le Clay Mathematics Institute et dont la résolution donne du fil à retordre aux mathématiciens depuis des décennies.
Chacun de ces problèmes est assorti d’un prix d’un million de dollars. Si la démonstration d’OpenAI est validée, ce serait seulement la deuxième fois qu’un problème du millénaire serait officiellement résolu !
Tant mieux. J’espère que l’hypothèse de Riemann sera le prochain grand défi mathématique relevé par l’IA.
Je ne veux pas dire par là que ces célèbres problèmes ouverts sont futiles ou inutiles. Au contraire, les problèmes du prix du millénaire ont été sélectionnés en raison de leur importance mathématique. L’équation de Navier-Stokes sert d’ailleurs à décrire le comportement de fluides tels que l’eau et l’air lorsqu’ils sont en mouvement.
Toutefois, ces problèmes ont atteint une renommée culturelle qui les a élevés bien au-delà de leur portée mathématique. Ils sont devenus les monuments de notre discipline. Érigés pour de bonnes raisons et indéniablement impressionnants, ils finissent néanmoins par masquer toute l’étendue des mathématiques modernes.
Les mathématiques consistent à reconnaître des régularités, à inventer des définitions, à élaborer des modèles, à établir des liens entre les idées et à collaborer. En tant que mathématicien, je m’intéresse à la découverte des structures cachées dans les données ainsi qu’aux conditions qui favorisent l’apparition et la persistance de modèles localisés dans les équations non linéaires.
Les mathématiques modernes ne se résument pas à choisir un problème ancien et à y consacrer toute sa carrière.
Les mathématiques entre mystère, intrigue et gloire
Le statut de « monuments » attribué aux problèmes du prix du millénaire résulte d’une boucle de rétroaction : un problème est repéré au sein d’une sous-discipline ; de grandes figures des mathématiques tentent de le résoudre et échouent, à maintes reprises ; livres, conférences, prix et échecs retentissants s’accumulent et alimentent le récit ; et peu à peu, le problème devient un monument aux proportions légendaires.
Les étudiants découvrent à leur tour le problème et le nom des personnes qui ont tenté de le résoudre. Année après année, sa réputation gagne en force et attire l’attention et les talents. L’histoire elle-même — marquée par des décennies de protagonistes exceptionnels, de tentatives audacieuses, mais vaines, de mystère, d’intrigue et de gloire — finit par prouver son importance. Et cette boucle de rétroaction se poursuit dans notre nouvelle économie de l’attention.
Résoudre l’un de ces problèmes, c’est espérer entrer dans l’histoire et marcher dans les pas d’Isaac Newton. De nombreux jeunes mathématiciens et mathématiciennes y voient une promesse d’immortalité intellectuelle. Les amateurs nourrissent quant à eux le rêve de découvrir le tour de génie qui aurait échappé à des générations de spécialistes.
La conjecture de Collatz, à la fois accessible et insaisissable — et qui cherche à déterminer si la répétition de deux opérations arithmétiques simples finit toujours par ramener tout entier positif à 1 —, est devenue un exemple presque cocasse de ce phénomène. Elle possède même son propre forum sur Reddit, qui rassemble à la fois des amateurs passionnés et des spécialistes de renommée mondiale.
Le paysage des mathématiques modernes
Aujourd’hui, les mathématiques s’attachent à explorer les structures, l’abstraction, la classification, les connexions et l’explication des phénomènes. L’une des caractéristiques importantes des mathématiques modernes est qu’une seule question peut donner lieu à toute une série de programmes de recherche, sans qu’il y ait forcément de récompense à la clé.
Par exemple, dans le cadre de mes travaux je cherche à comprendre comment et pourquoi des modèles émergent dans les systèmes non linéaires. Ce champ d’études remonte aux travaux précurseurs du mathématicien britannique Alan Turing.
(Wikimedia)
Les rayures, les points, les structures hexagonales et autres motifs auto-organisés sont omniprésents dans les fluides, l’optique, la biologie, la science des matériaux et bien d’autres domaines. Les recherches mathématiques tentent de comprendre comment ces modèles émergent, pourquoi ils apparaissent et quelles conditions favorisent leur formation.
Ces travaux mobilisent de nombreux domaines des mathématiques, notamment l’analyse, le calcul, la géométrie et les méthodes assistées par ordinateur. Il n’y a pas ici de « conjecture sur la formation des modèles » qui marquerait l’aboutissement de ce champ de recherche ni de verdict définitif qui viendrait mettre un point final à la question.
L’essor spectaculaire des données a ouvert de nouvelles possibilités d’exploration et d’avancement en mathématiques. L’un des grands défis consiste à repérer les structures invisibles qui se cachent dans les données. Dans mes travaux, j’essaie de mettre au jour l’organisation structurelle et les propriétés statistiques d’ensembles de données chaotiques, et ce, sans m’appuyer sur les équations qui les génèrent.
Ces deux exemples ne représentent qu’une infime partie de la vaste mosaïque de recherches mathématiques existantes. Je trouve une grande source d’inspiration dans les travaux de mes collègues en géométrie, en probabilités, en optimisation, en calcul et dans d’autres domaines dont j’ignorais presque l’existence.
Au fond, le point commun entre la plupart de ces travaux n’est pas le désir de résoudre les grands problèmes ouverts des mathématiques, mais plutôt de développer de nouvelles structures abstraites et des algorithmes ainsi que de découvrir de nouvelles questions.
L’IA fait main basse sur les trophées
Bien sûr, les grands problèmes donnent parfois naissance à des mathématiques révolutionnaires. Par exemple, en résolvant la conjecture de Poincaré, le mathématicien russe Grigori Perelman a apporté des idées essentielles à la théorie du flot de Ricci de Richard Hamilton. À ce jour, il s’agit du seul problème du millénaire résolu par un humain.
Mais si la valeur de ces problèmes réside avant tout dans les théories, les méthodes et les liens qui naissent en cherchant à les résoudre, on accorde peut-être une trop grande importance culturelle aux solutions et aux prix qui les accompagnent.
Pendant ce temps, les entreprises d’intelligence artificielle ont repéré ces grandes récompenses et sont déjà passées à l’action. OpenAI soutient avoir obtenu son résultat sur l’équation de Navier-Stokes en quelque 88 heures seulement, auxquelles se sont ajoutées 17 heures pour la formalisation et la vérification.
Tristan Buckmaster, professeur de mathématiques à l’Université de New York, affirme qu’il était sur le point de démontrer l’équation de Navier-Stokes en collaboration avec son collègue Levent Alpöge, mathématicien à Anthropic, le principal concurrent d’OpenAI. Mais lorsqu’OpenAI en a pris connaissance, l’entreprise aurait mobilisé 10 000 agents d’IA (encadrés par une petite équipe humaine) ainsi qu’environ 15 millions de dollars américains pour s’attaquer au problème.
La semaine dernière, Anthropic a présenté « la première démonstration complète et vérifiée par ordinateur du dernier théorème de Fermat ». Selon l’entreprise, Claude a accompli cette tâche en seulement 11 jours, alors que d’autres mathématiciens y consacraient leurs efforts depuis des années.
En fin de compte, la Silicon Valley pourrait sonner le glas de la quête des grands trophées mathématiques en la transformant en une discipline presque sportive.
Au-delà des monuments mathématiques
Dès lors, que reste-t-il aux mathématiciennes et mathématiciens en chair et en os ? Si les réponses se multiplient, je pense pour ma part que la faculté de discerner les questions qui méritent notre attention devient une rare ressource intellectuelle.
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L’IA est peut-être capable de générer des conjectures et de proposer des problèmes. En revanche, déterminer ce qui mérite réellement d’être étudié reste un jugement de valeur qui appartient à la communauté.
Oui, j’espère que l’IA résoudra l’hypothèse de Riemann. J’espère aussi qu’elle déterminera si P est égal à NP — un autre problème du prix du millénaire. Et oui, je serais heureux de voir la conjecture de Collatz enfin cesser de tourmenter les mathématiciens. Non pas parce que je méprise ces problèmes, mais parce que j’aime les mathématiques, et que celles-ci valent à mes yeux beaucoup plus que les monuments auxquels on les réduit parfois.
Jason Bramburger ne travaille pas, ne conseille pas, ne possède pas de parts, ne reçoit pas de fonds d’une organisation qui pourrait tirer profit de cet article, et n’a déclaré aucune autre affiliation que son organisme de recherche.
– ref. Équation de Navier-Stokes : OpenIA l’a résolu pour un million de dollars. Mais les mathématiques ne se résument pas à la course aux trophées – https://theconversation.com/equation-de-navier-stokes-openia-la-resolu-pour-un-million-de-dollars-mais-les-mathematiques-ne-se-resument-pas-a-la-course-aux-trophees-292645