Source: The Conversation – (in Spanish) – By Eduardo Gregorio Quevedo Gutiérrez, Profesor en el Área de Didáctica de la Matemática, Departamento de Matemáticas, Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
“Queridas y queridos estudiantes: hoy no van a resolver problemas matemáticos. Son ustedes quienes los van a crear”. ¿Se imaginan una clase que comience así? Pues ya está pasando en algunas aulas de primaria.
Resolver problemas matemáticos resulta fundamental en la educación matemática, y conviene empezar en edades tempranas, desde infantil. Pero idear los propios problemas (lo que en la investigación se conoce como “formulación de problemas” o “invención de problemas”) también ayuda. Es más, a menudo aporta una comprensión más profunda y completa que la simple aplicación de reglas matemáticas, porque nos hace pensar en esta ciencia de manera creativa.
¿Qué aporta formular nuestros propios problemas?
La formulación de problemas ha surgido en las últimas reformas educativas en los currículos de diferentes países, entre ellos España. En concreto, la ley educativa española especifica que los estudiantes de primaria deben conseguir ser capaces de “comprender problemas de la vida cotidiana a través de la reformulación de la pregunta, de forma verbal y gráfica”.
Crear problemas ayuda a comprender conceptos abstractos porque permite traducir ideas complejas, teóricas o invisibles en escenarios concretos, prácticos y lógicos, facilitando su manipulación mental. Este proceso fomenta el pensamiento crítico, la identificación de patrones y la creatividad al aplicar conocimientos teóricos (como álgebra o lógica) a situaciones nuevas.
Situar los problemas en la realidad
Imaginemos que un estudiante debe calcular el área de dos parcelas rectangulares diferentes, pero que comparten un mismo perímetro (por ejemplo, disponen de 20 metros de valla). Resolver esto es un simple ejercicio rutinario de multiplicar lados.
Sin embargo, si le pedimos que asuma el rol de diseñador y averigüe qué dimensiones lograrían el área máxima usando esa misma cantidad de valla, la tarea se transforma por completo.
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Para construir este nuevo enunciado, el estudiante primero debe explorar patrones (una parcela de 1×9, otra de 2×8, otra de 3×7…), descubriendo que el área cambia drásticamente, aunque la longitud de la valla sea la misma.
Al intentar encontrar una regla general que defina cualquier terreno de estas características, el alumno termina “chocando” de forma natural con un concepto abstracto superior: la función cuadrática (una parábola).
De este modo, la abstracción matemática no se impone desde la pizarra, sino que emerge como una herramienta necesaria para resolver un problema de optimización que el propio estudiante ha ayudado a construir. Un resumen de este desarrollo se presenta en la siguiente imagen.
Elaboración propia con apoyo de Google Gemini Pro, CC BY-ND
Transferencias en tres dimensiones
El aprendizaje de los números enteros y sus operaciones implica el uso de símbolos y el dominio de reglas operatorias. Se puede facilitar a través del uso de tres dimensiones de conocimiento numérico: abstracta, recta numérica y contextual.
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Dimensión abstracta: Uso de los números y las operaciones a través de sus símbolos matemáticos abstractos. Así, 1-3 = 1+(-3) = -2, se obtiene al sumar a 1 el opuesto de 3.
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Dimensión recta: Representación en la recta de los números y las operaciones,.
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Dimensión contextual: Uso de los números y las operaciones en situaciones concretas (temperaturas, deudas…). En este caso 1-3 = -2 se podría corresponder con la expresión “Tenía 1 euro y perdí 3, ahora debo 2 euros”.
CC BY-NC-ND
Los problemas matemáticos trabajan la dimensión contextual, porque sirven para conectar las reglas y las operaciones con el mundo real.
Capacidad de formulación de los estudiantes
Nuestra investigación más reciente se centra en cómo la formulación de problemas puede contribuir a comprender cómo conectar las tres dimensiones de conocimiento numérico, favoreciendo el aprendizaje de los números enteros.
Tras analizar los problemas formulados por 266 estudiantes del 6º de primaria y de 1º de secundaria en España, hemos podido comprobar que los estudiantes no son capaces de imaginar mucha variedad de situaciones y que no hay diferencias entre uno y otro curso.
¿Cómo introducirlo y mejorar esta habilidad?
La habilidad de crear problemas no se desarrolla espontáneamente y requiere instrucción específica. Al formular problemas los estudiantes pasan de ser meros consumidores de las matemáticas a ser “arquitectos de la actividad matemática”.
De esta forma, lo importante no es la respuesta a los problemas, sino las preguntas matemáticas que se pueden hacer. Una técnica habitual para trabajar la formulación de problemas se denomina “What-if-not…” (“¿Y si no…?”).
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Un ejemplo podría ser un problema clásico de regla de tres, que, de forma tradicional, quizás nos enseñaron a resolver con un producto cruzado, sin saber muy bien por qué. Por ejemplo:
“Si a 3 amigos ir al cine nos cuesta 18 € en total, ¿cuánto nos costará ir al cine a 7 amigos?”
Simplemente lo resolveríamos con una ecuación 3•x = 7•18 y resultaría que x = 42 €. Si bien el resultado es correcto, se ha perdido una gran oportunidad didáctica de trabajar y comprender el concepto de proporcionalidad directa (y probablemente el alumnado haya aplicado el producto cruzado de forma mecánica, sin comprender la base didáctica sobre la que se asienta).
Así, se podría plantear: ¿y si modificas el enunciado para que se calcule lo que vale una entrada y a partir de este nuevo dato se llegue al resultado?
Sabiendo lo que vale una entrada, directamente se podría inferir lo que cuesta el cine a 7 amigos (técnica conocida como “reducción a la unidad”) y el problema se podría plantear entonces así:
“Si a 3 amigos ir al cine les cuesta 18 € en total, calcula el coste de una entrada para saber cuánto cuesta a ir al cine a 7 amigos. Resuelve el problema sin realizar un producto cruzado.”
De esta forma es fácil inferir que si 3 entradas cuestan 18 €, 1 entrada cuesta 6 €, por lo que 7 entradas costarán 42 €. De fondo se está trabajando con una función lineal (o de proporcionalidad directa) del tipo y = 6•x, donde “y” es el coste total y “x” representa el número de amigos.
Más allá de la solución
Como solucionadores de problemas, muchas veces no nos cuestionamos los datos o las preguntas, simplemente buscamos la solución. Sin embargo, como formuladores de problemas la manera de pensar sobre los datos cambia: debemos analizar lo pertinente de la información dada y de las preguntas.
En el ejemplo anterior hemos visto que el coste de la entrada (6 €) simboliza la pendiente de una recta “m” del tipo y = m•x. Imaginemos ahora que compramos las entradas por internet, y existe un coste fijo de gestión de 2 € (independientemente del número de entradas). La formulación del problema entonces cambiaría, ya que al coste total habría que sumarle siempre 2 €, pasando entonces a una función afín del tipo y = m•x + n, donde “n” simbolizaría el coste de gestión.
La clave para formular el nuevo problema estaría en que tendríamos que sumar 2 € al coste total (antes 18 €) y tendríamos que indicar que se han de sumar siempre 2 €, independientemente del número de entradas que se compren. ¿Y si reformulamos el problema inicial de la siguiente forma?:
“Comprar las entradas por Internet para ir al cine tiene un cargo de gestión fijo de 2 €. Si a 3 amigos les ha acostado 20 € dichas entradas, ¿cuánto les costarán a 7 amigos?”
Hay infinitos problemas que inventar, y estos podrían plantear diversas formas de resolverse, e incluso diferentes soluciones posibles.
Las personas firmantes no son asalariadas, ni consultoras, ni poseen acciones, ni reciben financiación de ninguna compañía u organización que pueda obtener beneficio de este artículo, y han declarado carecer de vínculos relevantes más allá del cargo académico citado anteriormente.
– ref. En lugar de encontrar soluciones, plantear problemas: otra manera de aprender matemáticas – https://theconversation.com/en-lugar-de-encontrar-soluciones-plantear-problemas-otra-manera-de-aprender-matematicas-275243