Source: The Conversation – (in Spanish) – By Pedro José Miana Sanz, Catedrático de Matemáticas, Análisis Matematico, Universidad de Zaragoza
La predicción de un eclipse es mucho más que un fenómeno visual: es la demostración del poder de las matemáticas para describir el universo.
La trigonometría mide los tamaños aparentes y las posiciones de los astros; las leyes de la mecánica celeste permiten calcular sus movimientos bajo la acción de la gravedad; y, finalmente, la geometría explica la formación de las sombras y su recorrido sobre la superficie terrestre.
La combinación de estas disciplinas hace posible conocer con extraordinaria precisión cuándo, dónde y durante cuánto tiempo se producirá un eclipse, convirtiendo un espectáculo natural en una de las predicciones más exactas de toda la astronomía.
Cuándo se produce un eclipse
La primera condición geométrica necesaria para que se produzca un eclipse solar o lunar es que tres astros estén alineados: el Sol, la Luna y la Tierra.
Por las distancias y movimientos de cada uno de ellos, nuestra estrella siempre está en un extremo. Si se ubicara en el centro, no estaríamos aquí para contarlo. Así pues, solo quedan dos posibilidades: que la Tierra esté en el otro extremo y la Luna en medio (eclipse de Sol) o la Tierra en medio y la Luna en el otro extremo (eclipse de Luna). Esto añade la primera condición de temporalidad: en los eclipses de Sol, la Luna debe estar necesariamente en la fase de luna nueva, es decir, el momento en que no la vemos, y en los eclipses de Luna, en la fase de luna llena. Por sencillez en la explicación y por espectacularidad del resultado, nos centraremos en este texto solamente en los eclipses solares, simplificando algunos aspectos técnicos.
Los diámetros aparentes y la casualidad cósmica
La segunda condición geométrica necesaria para que se produzca un eclipse total de Sol es la igualdad de los diámetros aparentes. El diámetro aparente de un astro se define como el cociente entre el diámetro del astro y la distancia al observador. El resultado se entiende como un ángulo y se expresa en unidades de radianes. Vemos que el resultado en radiantes de Sol y Luna es prácticamente el mismo.
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Esta gran casualidad cósmica hace posible el espectáculo único del eclipse solar. Cuando están alineados se produce la ocultación del Sol por la Luna y se proyecta un cono de sombra sobre la Tierra.
En el caso de que la Luna este más alejada de nuestro planeta, su diámetro aparente es menor y el eclipse que se produce es anular.
Y ahora todo esto se mueve
Compliquemos el problema, esto es, hagámoslo más real.
Los tres astros se mueven, y sus posiciones vienen determinadas por las leyes del movimiento planetario. Las tres leyes de Kepler (1609) describen las órbitas elípticas de los astros, mientras que la ley de gravitación universal de Newton (1687), F=G mM/r2 , explica el origen físico de esos movimientos.
Igualando esta fuerza F a la segunda ley de Newton, F=ma, y recordando que la aceleración (a) es la derivada segunda de la posición (r), se obtiene un sistema de ecuaciones cuya solución es la trayectoria que recorre el cuerpo m (la Tierra) alrededor del cuerpo M (el Sol).
Como no podía ser de otra forma, y ya lo enunció Kepler en su primera ley, la órbita de los planetas es una elipse con el Sol en uno de los focos. La letra G de la ecuación es la constante de gravitación universal que formulo Newton. Es fascinante lo bien que ambas teorías, la de Kepler y la de Newton, encajan y cómo las matemáticas son el puente que las une.
Se llama plano de la elíptica a la superficie imaginaria que contiene la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Si consideramos análogamente el plano de la órbita de la Luna, se observa que están inclinados entre sí, aproximadamente con un ángulo de 5 ⁰. Debido a esta inclinación, la órbita de la Luna cruza al plano de la elíptica en dos puntos específicos, llamados nodos.
Esta inclinación impide que tengamos eclipses todos los meses, ya que la Luna en sus fases de luna nueva o llena está a veces por encima o por debajo del plano de la eclíptica.
Llegamos ya a la tercera condición para que se produzca un eclipse, y en este caso es doble. Como ya hemos comentado, se necesita que la Luna este en fase de luna nueva y además ésta se ha de producir justo en uno de los nodos. En ese preciso momento, Sol, Luna y Tierra están alineados y se produce la ocultación del Sol por la Luna, un fenómeno que la NASA ha recreado en un vídeo.
Todas estas condiciones tan precisas se pueden determinar con matemáticas. Se puede calcular que cada año se producen entre 2 y 5 eclipses de Sol en algún lugar de la Tierra, totales, anulares o parciales.
Pero aún hay más: la sombra de la Luna no permanece fija. Mientras orbita alrededor de la Tierra, gira sobre sí misma y el cono de sombra barre una estrecha banda sobre la superficie terrestre. Para calcular esa trayectoria se emplean coordenadas y trigonometría esféricas, matrices y transformaciones de sistemas de referencia.
El resultado es un mapa preciso que muestra donde comienza el eclipse, por donde pasa la totalidad, donde termina y la hora exacta en cada lugar. Solo por curiosidad señalaremos que la velocidad media de la sombra es alrededor de 2 000 km/h. Algunos eclipses duran apenas unos segundos, mientras que los más largos pueden superar los 7 minutos. Recientemente se ha estimado que un eclipse solar total ocurre, en promedio, una vez cada 373 ± 7 años en un punto cualquiera de la Tierra.
Las ecuaciones que rigen la maquinaria celestial del Sol, Tierra y Luna tienen además una extraordinaria periodicidad, conocida como el ciclo de Saros.
Después de 18 años, 11 días y 8 horas, los tres astros vuelven a ocupar prácticamente la misma situación. Esta periodicidad ya era conocida por los antiguos astrónomos babilónicos (siglos VI-IV a. e. c.) debido a sus exactos registros de efemérides astronómicas, en particular de eclipses, y podían anticipar su repetición. La diferencia de unas 8 horas implica que la Tierra ha girado aproximadamente 120 ⁰ de longitud, de modo que el siguiente eclipse de la serie se observa desde otra región del planeta.
Detrás de la belleza de un eclipse se esconden siglos de observación, ingenio y conocimiento matemático, y también la ilusión y el asombro propios de quien levanta la vista al cielo para contemplar uno de los fenómenos más extraordinarios que puede ofrecernos la naturaleza.
Las matemáticas son el lenguaje invisible con el que las estrellas y los planetas coreografían su danza.
Pedro José Miana Sanz no recibe salario, ni ejerce labores de consultoría, ni posee acciones, ni recibe financiación de ninguna compañía u organización que pueda obtener beneficio de este artículo, y ha declarado carecer de vínculos relevantes más allá del cargo académico citado.
– ref. Eclipse: el poder de las matemáticas para describir el universo – https://theconversation.com/eclipse-el-poder-de-las-matematicas-para-describir-el-universo-288408