El problema de Monty Hall explicado, sin tecnicismos, ni simulaciones, ni fórmulas

Source: The Conversation – (in Spanish) – By Javier Belloso Ezcurra, Profesor Departamento Estadística, Informática y Matemáticas, Universidad Pública de Navarra

Imagine que participa en un concurso de televisión donde ganar un coche es el premio. Frente a usted hay tres puertas cerradas: detrás de una hay un coche y detrás de las otras dos, sendas cabras. Para ganar el coche, tiene que acertar la puerta tras la que está. Y puede ser cualquiera de las tres.

El presentador le pide que elija una. Lo hace. Después, él abre una de las puertas no elegidas y muestra una cabra. Entonces llega la pregunta clave: ¿quiere mantener su elección o cambiar a la otra?

La mayoría de la gente cree que da igual: al principio, con tres puertas, la probabilidad de esconder el coche se repartía 33–33–33; ahora que hay dos, nos quedamos con 50–50. Pero no es así.

Ilusiones estadísticas

Este pequeño juego fue bautizado como el problema de Monty Hall, en honor al nombre del presentador del concurso televisivo estadounidense Let’s Make a Deal. El problema fue planteado y resuelto por el matemático Steve Selvin, en 1975. Y se ha convertido en uno de los rompecabezas más famosos de la estadística, porque desafía nuestra intuición de una forma casi incómoda.

En ocasiones, se describe como una ilusión estadística, incluso en publicaciones especializadas, por la distancia entre lo que sentimos que debería ocurrir y lo que realmente ocurre.

Lo fascinante es que, detrás de esta decisión aparentemente trivial, se esconde que, cuando recibimos nueva información –a pesar de que parezca irrelevante– nuestras probabilidades cambian, aunque no siempre sepamos cómo actualizarlas correctamente. Entramos en el terreno de las matemáticas, la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes, donde todo se vuelve menos intuitivo.

Sin embargo, podemos explicarlos sin necesidad de todo esto: basta con la lógica, la proporcionalidad y el sentido común para entender por qué la elección del presentador ha hecho que la balanza se incline claramente y una de las puertas sea más prometedora que la otra a la hora de esconder el coche.

La explicación

Suponemos que el concursante ha elegido la puerta A, aunque el razonamiento sería exactamente el mismo si hubiera elegido la B o la C.

Si el concursante ha elegido la puerta A, entonces, le toca el turno al presentador que puede abrir la B o la C indistintamente, siempre con la única condición de no mostrar el coche, de modo que se mantenga el enigma de dónde está, que es la clave del juego.

Supongamos que ha abierto la B, abrir la C habría llevado exactamente al mismo punto. Al hacerlo quedan dos opciones ya que B está descartada:

• Si el coche está en A, podía haber abierto B o C indistintamente (ambas tienen cabra). Por tanto, la probabilidad de que abra B no es del 100 %, sino del 50% compartida con C.

• Si el coche está en C, entonces la puerta B es la única que podía haber abierto. En ese caso, la probabilidad de que abra B es del 100 %. El doble que el anterior.

Esto implica que el hecho de que el presentador haya abierto B es más compatible con el escenario “el coche estaba en C” que con el escenario “el coche estaba en A”.

Desde el otro lado

Damos la vuelta al razonamiento y pensamos en términos del concursante, que es quien tiene que tomar la decisión. Al observar que el presentador ha abierto la B, y como esa acción es más probable cuando el coche está en C que cuando está en A, entonces, para él, pasa a ser más probable que el coche esté en C que en A.

Por tanto, si es más probable que el coche esté en C, entonces cambiar a C incrementa la probabilidad de ganar, porque el comportamiento del presentador revela información que favorece ese escenario más que el otro.

¿En qué medida? teniendo en cuenta que una es el doble de la otra (de 50 % a 100 %) y no hay más opciones, para completar el 100 % como suma de ambas nos queda un reparto de 33%-66% para las opciones A y C, respectivamente.

La intución puede fallar

En la motivación del presentador, al abrir la puerta B, tiene más peso el hecho de que el coche esté tras la puerta C que tras la puerta A. Y, por eso, es más probable que esté tras esa puerta. Esta es la razón por la cual, si el concursante cambia de elección, las probabilidades de ganar son mayores.

Esta explicación vale si el concursante ha elegido A. Para las otras dos opciones el planteamiento es el mismo: si elige B, se intercambia A con B. Si elige C, se intercambia A con C.

En el fondo, el problema de Monty Hall nos recuerda que la intuición puede fallar, hasta en situaciones simples. Actualizar la información correctamente no solo cambia el resultado: cambia nuestra comprensión de cómo funciona realmente el azar.

Y aceptar esa idea, aunque desafíe lo que “nos parece lógico”, es parte esencial de pensar mejor.

Javier Belloso Ezcurra no recibe salario, ni ejerce labores de consultoría, ni posee acciones, ni recibe financiación de ninguna compañía u organización que pueda obtener beneficio de este artículo, y ha declarado carecer de vínculos relevantes más allá del cargo académico citado.

– ref. El problema de Monty Hall explicado, sin tecnicismos, ni simulaciones, ni fórmulas – https://theconversation.com/el-problema-de-monty-hall-explicado-sin-tecnicismos-ni-simulaciones-ni-formulas-273474