Source: The Conversation – (in Spanish) – By Daniel García de Vicuña Bilbao, Profesor Ayudante Doctor, Universidad Pública de Navarra
Si nos dicen que una prueba médica es fiable al 99 %, asumimos que un resultado positivo implica casi con total seguridad que tenemos la enfermedad. Si reunimos a 25 personas en una sala, pensamos que sería rarísimo que dos cumplieran años el mismo día. Y, si avanzamos casillas en un tablero tirando un dado, creemos que cuanto más lejos esté una casilla del inicio, más probable será pasar por ella. En los tres casos, nuestra intuición nos engaña.
La probabilidad es uno de los ámbitos donde el sentido común falla de forma más sistemática, no porque seamos poco inteligentes, sino porque nuestra mente no está diseñada para manejar bien combinaciones múltiples, tasas bases o procesos acumulativos. Tres ejemplos clásicos lo muestran con claridad.
La paradoja de la oca: lo más probable es caer en la casilla 6
Imaginemos un tablero infinito, sin casillas especiales. No hay “de oca en oca”, ni puentes, ni retrocesos. Empezamos en la casilla 0 y en cada turno lanzamos un dado de seis caras y avanzamos el número obtenido. La pregunta es sencilla: ¿cuál es la probabilidad de caer en cada casilla del tablero? Para llegar a la casilla 1 solo hay una posibilidad: sacar un 1. Probabilidad de 1/6, aproximadamente 0,167 o 16,7 %. Para llegar a la casilla 3 ya hay varias combinaciones posibles: 1+1+1, 2+1, 1+2, 3. Cuatro caminos distintos. Si sumamos sus probabilidades, obtenemos aproximadamente 0,227 o 22,7 %.
A medida que aumentamos el número de casilla, la cantidad de combinaciones posibles crece muy rápidamente. Y aquí aparece nuestra intuición: parecería lógico que, cuanto más lejos esté una casilla, mayor sea la probabilidad de pasar por ella, hasta que esa probabilidad se estabilice, es decir, alcance un valor al que se acerca cada vez más y que apenas varía aunque sigamos avanzando por el tablero. Pero eso no es lo que ocurre. El resultado sorprendente es que la casilla más probable de todo el tablero es la 6, y, dejando aparte las tres primeras, la menos probable es la 7.
Aparece así una oscilación en las probabilidades que disminuye hasta acabar estabilizándose en un valor concreto. En términos matemáticos, estamos ante lo que se conoce como un proceso de renovación.
Lo interesante es que no solo podemos describir este comportamiento inicial, poco intuitivo, sino también calcular exactamente el valor al que se estabiliza la probabilidad de caer en casillas muy alejadas del origen. Y el resultado depende únicamente del avance medio en cada tirada. Con un dado justo avanzamos 3,5 casillas por turno, de media, por tanto, la probabilidad límite se aproxima a 1/3,5≈0,29.
La intuición esperaba una subida progresiva y suave. Las matemáticas, en cambio, muestran picos tempranos, oscilaciones inesperadas y una estabilización final. Este choque entre lo que “parece lógico” y lo que realmente ocurre no es exclusivo de un tablero imaginario.
Nuestra mente está extraordinariamente bien adaptada para sobrevivir, pero no para razonar con probabilidades. En algunos casos, ese error es solo una curiosidad matemática. En otros, puede cambiar por completo la forma en que interpretamos una noticia médica.
La paradoja del falso positivo: 99 % no implica casi seguro
Imaginemos una enfermedad muy rara que afecta al 1 % de la población. Existe una prueba diagnóstica con una precisión del 99 % que se aplica de forma sistemática a toda la población. Es decir, detecta correctamente al 99 % de las personas enfermas y solo produce un 1 % de falsos positivos entre las personas sanas. Si recibimos un resultado positivo, la reacción casi automática es pensar: “Tengo un 99 % de probabilidades de estar enfermo”. Pero esa conclusión es incorrecta.
Para entenderlo mejor, imaginemos 10 000 personas: 100 enfermas y 9 900 sanas. La prueba detecta 99 enfermos reales, pero también genera 99 falsos positivos. En total, hay 198 positivos, de los cuales solo 99 están realmente enfermos. Así, ante un resultado positivo, la probabilidad real de estar enfermo es 99/198 = 0,5 (50 %).
La intuición interpreta el 99 % de precisión como “99 % de probabilidad de enfermedad” e ignora la tasa base: si la enfermedad es rara, incluso una buena prueba produce muchos falsos positivos. Este resultado es una consecuencia del teorema de Bayes, pero lo importante no es la fórmula, sino entender que nuestra mente no integra de forma natural la información contextual.
Veamos ahora un tercer error más sutil: infravalorar el número de comparaciones que hacemos sin ser conscientes de ello.
La paradoja del cumpleaños: 25 personas son suficientes
Supongamos que reunimos a 25 personas elegidas al azar. ¿Cuál diríamos que es la probabilidad de que, al menos, dos cumplan años el mismo día? La mayoría de las personas responde con cifras muy bajas. Veinticinco parecen pocas comparadas con los 365 días del año. Intuitivamente, “debería ser raro” que coincidan. Sin embargo, la probabilidad supera el 50 %.
El error intuitivo consiste en plantear mal la pregunta. No estamos calculando la probabilidad de que alguien comparta cumpleaños con una persona concreta. Estamos preguntando si existe alguna coincidencia entre cualquier pareja del grupo.
Con 25 personas, no hay 25 posibles comparaciones, sino 300 pares distintos. Cada nuevo integrante no añade una posibilidad más, sino muchas nuevas combinaciones con todos los anteriores. La forma correcta de calcular la probabilidad no es estimar directamente las coincidencias, sino hacer lo contrario: calcular la probabilidad de que todos cumplan años en días distintos y restarla de 1.
La primera persona puede cumplir años cualquier día. La segunda puede hacerlo en cualquiera de los 364 días restantes. La tercera, en 363 posibles. Y así sucesivamente. La probabilidad de que los 25 cumplan años en días distintos es: (365/365)×(364/365)×(363/365)×…×(341/365). Ese producto disminuye más deprisa de lo que nuestra intuición anticipa. Al restarlo de 1, obtenemos una probabilidad superior al 50 % de que haya, al menos, una coincidencia.
De nuevo, el sentido común falla. No porque el problema sea complicado, sino porque nuestra mente no percibe de forma natural cómo crecen las combinaciones posibles.
Un mismo patrón, tres escenarios distintos
En los tres casos, aparece el mismo fenómeno: simplificamos estructuras probabilísticas complejas. En el juego de la oca no vemos cómo se distribuyen los caminos; en la prueba médica, ignoramos la frecuencia base y, en los cumpleaños, subestimamos las comparaciones.
Las matemáticas no contradicen el sentido común por capricho, sino que muestran que, aunque sea útil a diario, nuestra intuición no siempre está preparada para la complejidad del azar. Por eso, la probabilidad resulta fascinante y nos recuerda que el mundo no siempre funciona como parece.
Las personas firmantes no son asalariadas, ni consultoras, ni poseen acciones, ni reciben financiación de ninguna compañía u organización que pueda obtener beneficio de este artículo, y han declarado carecer de vínculos relevantes más allá del cargo académico citado anteriormente.
– ref. Cuando las matemáticas contradicen el sentido común: tres paradojas cotidianas – https://theconversation.com/cuando-las-matematicas-contradicen-el-sentido-comun-tres-paradojas-cotidianas-278598